3. วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมวงใหญ่มีรัศมียาว 89 หน่วย วงกลมวงเล็กมีรัศมียาว 65 หน่วย วงกลมทั้งสองมีพื้นที่ต่างกันเท่าไร (กำหนด 𝜋 \(\approx\) 3.14)
วิธีทำ
พื้นที่วงกลม = 𝜋 \(r^2\)
วงกลมทั้งสองมีพื้นที่ต่างกัน = พื้นที่วงกลมใหญ่ – พื้นที่วงกลมเล็ก
= \(\small\mathsf{{89}^2}\)𝜋 – \(\small\mathsf{{65}^2}\)𝜋
= 𝜋\(\small\mathsf{({89}^2 \; – \, {65}^2)}\)
= 𝜋(89 + 65)(89 – 65)
= 3.14 x 154 x 24
= 11,605.44
= 𝜋\(\small\mathsf{({89}^2 \; – \, {65}^2)}\)
= 𝜋(89 + 65)(89 – 65)
= 3.14 x 154 x 24
= 11,605.44
ดังนั้น วงกลมทั้งสองมีพื้นที่ต่างกัน 11,605.44 ตารางหน่วย
ตอบ 11,605.44 ตารางหน่วย
4. จากรูป กำหนดให้ \(\small\mathsf{\triangle ABC}\) เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี \(\small\mathsf{\overline{BC}}\) เป็นฐาน AB = 51 เซนติเมตร, AE = 38 เซนติเมตร และ BE = 25 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของ \(\small\mathsf{\triangle ABC}\)
วิธีทำ
ให้ ED ยาว x เซนติเมตร
พิจารณา \(\small\mathsf{\triangle BDE}\) และ \(\small\mathsf{\triangle ABD}\) จะได้ว่า
\(\small\mathsf{{BD}^2 = {25}^2 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{{BD}^2 = {51}^2 \; – \, {(38 + x)}^2}\)
\(\small\mathsf{{BD}^2 = {51}^2 \; – \, {(38 + x)}^2}\)
. . . . . (1)
. . . . . (2)
. . . . . (2)
เนื่องจาก (1) = (2) จะได้ว่า
\(\small\mathsf{{25}^2 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2 + x^2}\)
625
625 + 76x
76x
76x
x
x
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2}\)
\(\small\mathsf{625 \; – \, x^2 + x^2}\)
625
625 + 76x
76x
76x
x
x
= \(\small\mathsf{{51}^2 \; – \, {(38 + x)}^2}\)
= [51 + (38 + x)][51 – (38 + x)]
= (51 + 38 + x)(51 – 38 – x)
= (89 + x)(13 – x)
= 1,157 – 89x + 13x – \(\small\mathsf{x^2}\)
= 1,157 – 76x – \(\small\mathsf{x^2}\)
= 1,157 – 76x
= 1,157 – 76x
= 1,157
= 1,157 – 625
= 532
= \(\small\mathsf{\frac{532}{76}}\)
= 7
= [51 + (38 + x)][51 – (38 + x)]
= (51 + 38 + x)(51 – 38 – x)
= (89 + x)(13 – x)
= 1,157 – 89x + 13x – \(\small\mathsf{x^2}\)
= 1,157 – 76x – \(\small\mathsf{x^2}\)
= 1,157 – 76x
= 1,157 – 76x
= 1,157
= 1,157 – 625
= 532
= \(\small\mathsf{\frac{532}{76}}\)
= 7
ดังนั้น ED ยาว 7 ซม.
จากสมการ (1) หาความยาวของ BD ได้ดังนี้
จากสมการ (1) หาความยาวของ BD ได้ดังนี้
\(\small\mathsf{{BD}^2}\)
\(\small\mathsf{{BD}^2}\)
\(\small\mathsf{{BD}^2}\)
\(\small\mathsf{{BD}^2}\)
BD
\(\small\mathsf{{BD}^2}\)
\(\small\mathsf{{BD}^2}\)
\(\small\mathsf{{BD}^2}\)
BD
= \(\small\mathsf{{25}^2 \; – \, 7^2}\)
= 625 – 49
= 576
= \(\small\mathsf{{24}^2}\)
= 24
= 625 – 49
= 576
= \(\small\mathsf{{24}^2}\)
= 24
ดังนั้น BD ยาว 24 ซม.
BC ยาว = 24 x 2 = 48 ซม.
และ AD ยาวเท่ากับ 38 + 7 = 45 ซม.
ดังนั้น พื้นที่ของ \(\small\mathsf{\triangle ABC}\) = \(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\) x 48 x 45 = 1,080 ตารางเซนติเมตร
BC ยาว = 24 x 2 = 48 ซม.
และ AD ยาวเท่ากับ 38 + 7 = 45 ซม.
ดังนั้น พื้นที่ของ \(\small\mathsf{\triangle ABC}\) = \(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\) x 48 x 45 = 1,080 ตารางเซนติเมตร
ตอบ 1,080 ตารางเซนติเมตร