2. โฟกัสมีอายุมากกว่าโฟโต้อยู่ 4 ปี ถ้ากำลังสองของผลรวมของอายุของทั้งสองคนเท่ากับ 256 อยากทราบว่าโฟโต้มีอายุเท่าไร
วิธีทำ
ให้โฟโต้มีอายุ x ปี
โฟกัสมีอายุมากกว่าโฟโต้อยู่ 4 ปี จะได้ว่าโฟโต้มีอายุ x + 4 ปี
กำลังสองของผลรวมของอายุของทั้งสองคนเท่ากับ 256
เขียนสมการได้เป็น
กำลังสองของผลรวมของอายุของทั้งสองคนเท่ากับ 256
เขียนสมการได้เป็น
\(\small\mathsf{(x + x + 4)^2}\)
\(\small\mathsf{(2x + 4)^2}\)
\(\small\mathsf{4x^2 + 16x + 16}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{4}(4x^2 + 16x + 16)}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 4x + 4}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 4x + 4 \; – \; 64}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 4x \; – \; 60}\)
(x + 10)(x – 6)
\(\small\mathsf{(2x + 4)^2}\)
\(\small\mathsf{4x^2 + 16x + 16}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{4}(4x^2 + 16x + 16)}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 4x + 4}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 4x + 4 \; – \; 64}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 4x \; – \; 60}\)
(x + 10)(x – 6)
= 256
= 256
= 256
= \(\small\mathsf{\frac{1}{4}(256)}\)
= 64
= 0
= 0
= 0
= 256
= 256
= \(\small\mathsf{\frac{1}{4}(256)}\)
= 64
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น x + 10 = 0
จะได้ x = -10
จะได้ x = -10
หรือ x – 6 = 0
หรือ x = 6
หรือ x = 6
เนื่องจาก x แทนอายุของโฟโต้ จึงต้องเป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น โฟโต้มีอายุ 6 ปี
ดังนั้น โฟโต้มีอายุ 6 ปี
ตอบ โฟโต้มีอายุ 6 ปี
3. พื้นห้องเรียนห้องหนึ่งมีพื้นที่ 180 ตารางเมตร และมีด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เมตร ห้องเรียนนี้กว้างและยาวกี่เมตร
วิธีทำ
ให้พื้นห้องเรียนกว้าง x ม.
ด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 ม. จะได้ว่าด้านยาวยาวเท่ากับ x + 3 ม.
พื้นห้องเรียนมีพื้นที่ 180 ตร.ม.
จากสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจะเขียนสมการได้เป็น
พื้นห้องเรียนมีพื้นที่ 180 ตร.ม.
จากสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจะเขียนสมการได้เป็น
x(x + 3)
\(\small\mathsf{x^2 + 3x}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 3x \; – \; 180}\)
(x + 15)(x – 12)
\(\small\mathsf{x^2 + 3x}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 3x \; – \; 180}\)
(x + 15)(x – 12)
= 180
= 180
= 0
= 0
= 180
= 0
= 0
ดังนั้น x + 15 = 0
จะได้ x = -15
จะได้ x = -15
หรือ x – 12 = 0
หรือ x = 12
หรือ x = 12
เนื่องจาก x แทนความกว้างของห้องเรียน จึงต้องเป็นจำนวนจริงบวก
ดังนั้น ห้องเรียนกว้าง 12 ม. และยาวเท่ากับ 12 + 3 = 15 ม.
ดังนั้น ห้องเรียนกว้าง 12 ม. และยาวเท่ากับ 12 + 3 = 15 ม.
ตอบ ห้องเรียนกว้าง 12 เมตร ยาว 15 เมตร
4. ปีนี้คุณพ่อมีอายุเป็น 3 เท่าของใยไหม ถ้าสิบปีที่แล้ว กำลังสองของอายุคุณพ่อมากกว่ากำลังสองของอายุใยไหมอยู่ 1,200 อยากทราบว่าปีนี้ใยไหมมีอายุเท่าไร
วิธีทำ
ให้ปีนี้ใยไหมมีอายุ x ปี
ปีนี้พ่อมีอายุเป็น 3 เท่าของใยไหม จะได้ว่าพ่อมีอายุ 3x ปี
สิบปีที่แล้วใยไหมจะมีอายุเท่ากับ x – 10 ปี และพ่อจะมีอายุ 3x – 10 ปี
สิบปีที่แล้วกำลังสองของอายุพ่อมากกว่ากำลังสองของอายุใยไหมอยู่ 1,200
เขียนสมการได้เป็น
สิบปีที่แล้วใยไหมจะมีอายุเท่ากับ x – 10 ปี และพ่อจะมีอายุ 3x – 10 ปี
สิบปีที่แล้วกำลังสองของอายุพ่อมากกว่ากำลังสองของอายุใยไหมอยู่ 1,200
เขียนสมการได้เป็น
\(\small\mathsf{(3x \; – \; 10)^2 \; – \; (x \; – \; 10)^2}\)
\(\small\mathsf{(9x^2 \; – \; 60x + 100) \; – \; (x^2 \; – \; 20x + 100)}\)
\(\small\mathsf{9x^2 \; – \; 60x + 100 \; – \; x^2 + 20x \; – \; 100}\)
\(\small\mathsf{8x^2 \; – \; 40x}\)
\(\small\mathsf{8x^2 \; – \; 40x \; – \; 1200}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{8}(8x^2 \; – \; 40x \; – \; 1200)}\)
\(\small\mathsf{x^2 \; – \; 5x \; – \; 150}\)
(x – 15)(x + 10)
\(\small\mathsf{(9x^2 \; – \; 60x + 100) \; – \; (x^2 \; – \; 20x + 100)}\)
\(\small\mathsf{9x^2 \; – \; 60x + 100 \; – \; x^2 + 20x \; – \; 100}\)
\(\small\mathsf{8x^2 \; – \; 40x}\)
\(\small\mathsf{8x^2 \; – \; 40x \; – \; 1200}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{8}(8x^2 \; – \; 40x \; – \; 1200)}\)
\(\small\mathsf{x^2 \; – \; 5x \; – \; 150}\)
(x – 15)(x + 10)
= 1200
= 1200
= 1200
= 1200
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{8}(0)}\)
= 0
= 0
= 1200
= 1200
= 1200
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{8}(0)}\)
= 0
= 0
ดังนั้น x – 15 = 0
จะได้ x = 15
จะได้ x = 15
หรือ x + 10 = 0
หรือ x = -10
หรือ x = -10
เนื่องจาก x แทนอายุของใยไหมจึงต้องเป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น ปีนี้ใยไหมมีอายุ 15 ปี
ดังนั้น ปีนี้ใยไหมมีอายุ 15 ปี
ตอบ ปีนี้ใยไหมมีอายุ 15 ปี
5. ลูกเสือ 2 หมู่ เริ่มออกเดินทางไกลพร้อมกันจากโรงเรียนไปยังค่ายพักแรม ตามแผนผังดังรูป ถ้าลูกเสือหมู่ที่ 1 ออกเดินไปทางทิศใต้ และลูกเสือหมู่ที่ 2 ออกเดินไปทางทิศตะวันออก เมื่อเวลาผ่านไป 40 นาที ลูกเสือหมู่ที่ 2 เดินทางได้ระยะทางมากกว่าลูกเสือหมู่ที่ 1 อยู่ 1 กิโลเมตร และลูกเสือทั้งสองหมู่ห่างกัน 5 กิโลเมตร อยากทราบว่าลูกเสือหมู่ที่ 1 เดินทางมาแล้วกี่กิโลเมตร
วิธีทำ
ให้ลูกเสือหมู่ที่ 1 เดินทางมาแล้ว x กม.
ลูกเสือหมู่ 2 เดินได้ระยะทางมากกว่าอยู่ 1 กม. จะได้ว่าเดินได้ระยะ x + 1 กม.
ลูกเสือทั้งสองหมู่ห่างกัน 5 กม.
ลูกเสือทั้งสองหมู่ห่างกัน 5 กม.
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะเขียนสมการได้เป็น
\(\small\mathsf{x^2 + (x + 1)^2}\)
\(\small\mathsf{x^2 + x^2 + 2x + 1}\)
\(\small\mathsf{2x^2 + 2x + 1 \; – \; 25}\)
\(\small\mathsf{2x^2 + 2x \; – \; 24}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(2x^2 + 2x \; – \; 24)}\)
\(\small\mathsf{x^2 + x \; – \; 12}\)
(x + 4)(x – 3)
\(\small\mathsf{x^2 + x^2 + 2x + 1}\)
\(\small\mathsf{2x^2 + 2x + 1 \; – \; 25}\)
\(\small\mathsf{2x^2 + 2x \; – \; 24}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(2x^2 + 2x \; – \; 24)}\)
\(\small\mathsf{x^2 + x \; – \; 12}\)
(x + 4)(x – 3)
= \(\small\mathsf{5^2}\)
= 25
= 0
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}(0)}\)
= 0
= 0
= 25
= 0
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}(0)}\)
= 0
= 0
ดังนั้น x + 4 = 0
จะได้ x = -4
จะได้ x = -4
หรือ x – 3 = 0
หรือ x = 3
หรือ x = 3
เนื่องจาก x แทนระยะทางจึงต้องเป็นจำนวนจริงบวก
ดังนั้น ลูกเสือหมู่ที่ 1 เดินทางมาแล้ว 3 กม.
ดังนั้น ลูกเสือหมู่ที่ 1 เดินทางมาแล้ว 3 กม.
ตอบ ลูกเสือหมู่ที่ 1 เดินทางมาแล้ว 3 กิโลเมตร
6. ลุงปาล์มต้องการทำสระว่ายน้ำ เพื่อให้เด็ก ๆ ในหมู่บ้านมาฝึกว่ายน้ำ โดยลุงปาล์มออกแบบสระว่ายน้ำให้มีส่วนตื้น และส่วนลึก เป็น 1.20 เมตร และ 2.80 เมตร ตามลำดับ ดังรูป ถ้าด้านยาวของสระว่ายน้ำยาวน้อยกว่า 2 เท่าของด้านกว้างอยู่ 5 เมตร และเมื่อเติมน้ำจนเต็มสระแล้ว จะใช้น้ำ 1,400 ลูกบาศก์เมตร อยากทราบว่า สระว่ายน้ำนี้ยาวกี่เมตรและกว้างกี่เมตร
วิธีทำ
ให้สระว่ายน้ำกว้าง x ม.
ด้านยาวยาวน้อยกว่า 2 เท่าของด้านกว้างอยู่ 5 ม. ด้านยาวยาว 2x – 5 ม.
สระว่ายน้ำมีปริมาตร 1,400 ลบ.ม.
สระว่ายน้ำมีปริมาตร 1,400 ลบ.ม.
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมคางหมู = (\(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\) x ผลบวกด้านคู่ขนาน x ความสูง) x ความยาว
เขียนสมการได้เป็น
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)(1.2 + 2.8)(2x – 5)(x)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)(4)(2x – 5)(x)
2(2x – 5)(x)
\(\small\mathsf{4x^2 \; – \; 10x}\)
\(\small\mathsf{4x^2 \; – \; 10x \; – \; 1400}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(4x^2 \; – \; 10x \; – \; 1400)}\)
\(\small\mathsf{2x^2 \; – \; 5x \; – \; 700}\)
(2x + 35)(x – 20)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)(4)(2x – 5)(x)
2(2x – 5)(x)
\(\small\mathsf{4x^2 \; – \; 10x}\)
\(\small\mathsf{4x^2 \; – \; 10x \; – \; 1400}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(4x^2 \; – \; 10x \; – \; 1400)}\)
\(\small\mathsf{2x^2 \; – \; 5x \; – \; 700}\)
(2x + 35)(x – 20)
= 1400
= 1400
= 1400
= 1400
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)(0)
= 0
= 0
= 1400
= 1400
= 1400
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)(0)
= 0
= 0
ดังนั้น 2x + 35 = 0
จะได้ x = -\(\small\mathsf{\frac{35}{2}}\)
จะได้ x = -\(\small\mathsf{\frac{35}{2}}\)
หรือ x – 20 = 0
หรือ x = 20
หรือ x = 20
เนื่องจาก x แทนความกว้างของสระว่ายน้ำจึงต้องเป็นจำนวนจริงบวก
ดังนั้น สระว่ายน้ำกว้าง 20 ม. และยาว 2(20) – 5 = 40 – 5 = 35 ม.
ดังนั้น สระว่ายน้ำกว้าง 20 ม. และยาว 2(20) – 5 = 40 – 5 = 35 ม.
ตอบ สระว่ายน้ำกว้าง 20 เมตร และยาว 35 เมตร
7. โฟล์คซองลงแข่งขันปั่นจักรยานรายการหนึ่ง ซึ่งมีระยะทาง 75 กิโลเมตร ถ้าในการแข่งขันนี้ โฟล์คซองปั่นจักรยานให้มีอัตราเร็วเฉลี่ยมากกว่าปกติ 5 กิโลเมตร/ชั่วโมง เขาจะใช้เวลาน้อยลง 30 นาที อยากทราบว่า โดยปกติแล้ว โฟล์คซองปั่นจักรยานด้วยอัตราเร็วเฉลี่ยเท่าไร
วิธีทำ
ให้โดยปกติโฟล์คซองปั่นจักรยานด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย x กม./ชม.
หากปั่นในระยะทาง 75 กม. จะใช้เวลาเท่ากับ \(\small\mathsf{\dfrac{75}{x}}\) ชม.
การแข่งนี้ปั่นเร็วกว่าปกติ 5 กม./ชม. จะได้ว่าปั่นด้วยอัตราเร็ว x + 5 กม./ชม.
ปั่นในระยะทาง 75 กม. จะใช้เวลาเท่ากับ \(\small\mathsf{\dfrac{75}{x + 5}}\) ชม.
ในการแข่งขันใช้เวลาน้อยลงกว่าปกติ 30 นาที ซึ่งเท่ากับ \(\small\mathsf{\dfrac{1}{2}}\) ชม.
เขียนสมการได้เป็น
\(\small\mathsf{\dfrac{75}{x} \; – \; \dfrac{75}{x + 5} = \dfrac{1}{2}}\)
\(\small\mathsf{\dfrac{75(x + 5) \; – \; 75x}{x(x + 5)} = \dfrac{1}{2}}\)
\(\small\mathsf{\dfrac{75x + 375 \; – \; 75x}{x^2 + 5x} = \dfrac{1}{2}}\)
\(\small\mathsf{\dfrac{375}{x^2 + 5x} = \dfrac{1}{2}}\)
2(375)
750
0
0
= \(\small\mathsf{x^2 + 5x}\)
= \(\small\mathsf{x^2 + 5x}\)
= \(\small\mathsf{x^2 + 5x \; – \; 750}\)
= (x + 30)(x – 25)
ดังนั้น x + 30 = 0
จะได้ x = -30
จะได้ x = -30
หรือ x – 25 = 0
หรือ x = 25
หรือ x = 25
เนื่องจาก x แทนอัตราเร็วเฉลี่ยในการปั่นจักรยานจึงต้องเป็นจำนวนจริงบวก
ดังนั้น โดยปกติแล้ว โฟล์คซองปั่นจักรยานด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย 25 กม./ชม.
ดังนั้น โดยปกติแล้ว โฟล์คซองปั่นจักรยานด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย 25 กม./ชม.
ตอบ 25 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
8. ภาคีณมีที่ดินรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่สองแปลงไม่ติดกัน แต่ละแปลงล้อมรั้วด้วยลวดหนามสี่ชั้น ดังรูป ถ้าที่ดินทั้งสองแปลงมีเนื้อที่รวมกันเป็น 170 ตารางวา และใช้ลวดหนามทั้งหมด 576 เมตร อยากทราบว่า ที่ดินของภาคีณแต่ละแปลงมีเนื้อที่เท่าไร
วิธีทำ
ให้ที่ดินแปลงเล็กมีความยาวด้านละ x วา
ที่ดินแปลงเล็กจะมีเนื้อที่เท่ากับ \(\small\mathsf{x^2}\) ตร.ว.
ที่ดินสองแปลงใช้ลวดหนามทั้งหมด 576 ม. โดยล้อมรั้วด้วยลวดหนามสี่ชั้น
ที่ดินสองแปลงใช้ลวดหนามทั้งหมด 576 ม. โดยล้อมรั้วด้วยลวดหนามสี่ชั้น
เส้นรอบรูปที่ดินทั้งสองแปลงจะเท่ากับ \(\small\mathsf{\frac{576}{4}}\) = 144 ม. หรือเท่ากับ \(\small\mathsf{\frac{144}{2}}\) = 72 วา
เส้นรอบรูปของที่ดินแปลงเล็กเท่ากับ 4x วา
เส้นรอบรูปของที่ดินแปลงใหญ่จะเท่ากับ 72 – 4x วา
เส้นรอบรูปของที่ดินแปลงใหญ่จะเท่ากับ 72 – 4x วา
จะได้ว่าที่ดินแปลงใหญ่มีความยาวด้านละ \(\small\mathsf{\frac{72 \; – \; 4x}{4}}\) = 18 – x วา
ที่ดินแปลงใหญ่จะมีเนื้อที่เท่ากับ \(\small\mathsf{(18 \; – \; x)^2}\) ตร.ว.
ที่ดินสองแปลงมีเนื้อที่รวมกัน 170 ตร.ว.
เขียนสมการได้เป็น
ที่ดินสองแปลงมีเนื้อที่รวมกัน 170 ตร.ว.
เขียนสมการได้เป็น
\(\small\mathsf{x^2 + (18 \; – \; x)^2}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 324 \; – \; 36x + x^2}\)
\(\small\mathsf{2x^2 \; – \; 36x + 324}\)
\(\small\mathsf{2x^2 – 36x + 324 \; – \; 170}\)
\(\small\mathsf{2x^2 \; – \; 36x + 154}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(2x^2 \; – \; 36x + 154)}\)
\(\small\mathsf{x^2 \; – \; 18x + 77}\)
(x – 11)(x – 7)
\(\small\mathsf{x^2 + 324 \; – \; 36x + x^2}\)
\(\small\mathsf{2x^2 \; – \; 36x + 324}\)
\(\small\mathsf{2x^2 – 36x + 324 \; – \; 170}\)
\(\small\mathsf{2x^2 \; – \; 36x + 154}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(2x^2 \; – \; 36x + 154)}\)
\(\small\mathsf{x^2 \; – \; 18x + 77}\)
(x – 11)(x – 7)
= 170
= 170
= 170
= 0
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)(0)
= 0
= 0
= 170
= 170
= 0
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)(0)
= 0
= 0
ดังนั้น x – 11 = 0
จะได้ x = 11
จะได้ x = 11
หรือ x – 7 = 0
หรือ x = 7
หรือ x = 7
พิจารณาเมื่อ x = 11
ที่ดินแปลงเล็กจะมีความยาวด้านละ 11 วา และมีพื้นที่เท่ากับ 11 x 11 = 121 ตร.ว.
ที่ดินแปลงใหญ่จะมีความยาวด้านละ 18 – 11 = 7 วา ซึ่งเล็กกว่าแปลงเล็ก
x = 11 จึงไม่ใช่คำตอบของโจทย์ในข้อนี้
พิจารณาเมื่อ x = 7
ที่ดินแปลงเล็กจะมีความยาวด้านละ 7 วา และมีพื้นที่เท่ากับ 7 x 7 = 49 ตร.ว.
ที่ดินแปลงใหญ่จะมีความยาวด้านละ 18 – 7 = 11 วา
และมีพื้นที่เท่ากับ 11 x 11 = 121 ตร.ว.
ดังนั้น ที่ดินของภาคีณแปลงเล็กมีเนื้อที่ 49 ตร.ว.
และแปลงใหญ่มีเนื้อที่ 121 ตร.ว.
ตอบ ที่ดินแปลงเล็กมีเนื้อที่ 49 ตารางวา และแปลงใหญ่มีเนื้อที่ 121 ตารางวา