1. จงแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวต่อไปนี้
1) \(\small\mathsf{x^2 + 21x = -110}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{x^2 + 21x}\)
= -110
\(\small\mathsf{x^2 + 21x + 110}\)
(x + 11)(x + 10)
(x + 11)(x + 10)
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น x + 11 = 0
จะได้ x = -11
จะได้ x = -11
หรือ x + 10 = 0
หรือ x = -10
หรือ x = -10
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -10 และ -11
2) \(\small\mathsf{-35 = 2y \; – \; y^2}\)
วิธีทำ
-35
= \(\small\mathsf{2y \; – \; y^2}\)
\(\small\mathsf{y^2 \; – \; 2y \; – \; 35}\)
(y – 7)(y + 5)
(y – 7)(y + 5)
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น y – 7 = 0
จะได้ y = 7
จะได้ y = 7
หรือ y + 5 = 0
หรือ y = -5
หรือ y = -5
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -5 และ 7
3) y(y – 9) = 36
วิธีทำ
y(y – 9)
= 36
\(\small\mathsf{y^2 \; – \; 9y}\)
\(\small\mathsf{y^2 \; – \; 9y \; – \; 36}\)
(y – 12)(y + 3)
\(\small\mathsf{y^2 \; – \; 9y \; – \; 36}\)
(y – 12)(y + 3)
= 36
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น y – 12 = 0
จะได้ y = 12
จะได้ y = 12
หรือ y + 3 = 0
หรือ y = -3
หรือ y = -3
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -3 และ 12
4) \(\small\mathsf{2 + 8x^2 + 8x = 0}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{2 + 8x^2 + 8x}\)
= 0
\(\small\mathsf{8x^2 + 8x + 2}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(8x^2 + 8x + 2)}\)
\(\small\mathsf{4x^2 + 4x + 1}\)
(2x + 1)(2x + 1)
\(\small\mathsf{\frac{1}{2}(8x^2 + 8x + 2)}\)
\(\small\mathsf{4x^2 + 4x + 1}\)
(2x + 1)(2x + 1)
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}(0)}\)
= 0
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{2}(0)}\)
= 0
= 0
ดังนั้น 2x + 1 = 0
จะได้ x = -\(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)
จะได้ x = -\(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -\(\small\mathsf{\frac{1}{2}}\)
5) \(\small\mathsf{x^2 + 5x = 0}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{x^2 + 5x}\)
= 0
x(x + 5)
= 0
ดังนั้น x = 0
จะได้ x = 0
จะได้ x = 0
หรือ x + 5 = 0
หรือ x = -5
หรือ x = -5
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -5 และ 0
6) \(\small\mathsf{-3y^2 = 48y + 144}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{-3y^2}\)
= 48y + 144
0
\(\small\mathsf{\frac{1}{3}}\)(0)
0
0
\(\small\mathsf{\frac{1}{3}}\)(0)
0
0
= \(\small\mathsf{3y^2 + 48y + 144}\)
= \(\small\mathsf{\frac{1}{3}(3y^2 + 48y + 144)}\)
= \(\small\mathsf{y^2 + 16y + 48}\)
= (y + 12)(y + 4)
= \(\small\mathsf{\frac{1}{3}(3y^2 + 48y + 144)}\)
= \(\small\mathsf{y^2 + 16y + 48}\)
= (y + 12)(y + 4)
ดังนั้น y + 12 = 0
จะได้ y = -12
จะได้ y = -12
หรือ y + 4 = 0
หรือ y = -4
หรือ y = -4
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -4 และ -12
7) x(x + 5) = 2x
วิธีทำ
x(x + 5)
= 2x
\(\small\mathsf{x^2 + 5x}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 5x \; – \; 2x}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 3x}\)
x(x + 3)
\(\small\mathsf{x^2 + 5x \; – \; 2x}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 3x}\)
x(x + 3)
= 2x
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น x = 0
จะได้ x = 0
จะได้ x = 0
หรือ x + 3 = 0
หรือ x = -3
หรือ x = -3
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -3 และ 0
8) \(\small\mathsf{3y^2 + 19y + 225 = 29 \; – \; 9y + 2y^2}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{3y^2 + 19y + 225}\)
= \(\small\mathsf{29 \; – \; 9y + 2y^2}\)
\(\small\mathsf{3y^2 \; – \; 2y^2 + 19y + 9y + 225 \; – \; 29}\)
\(\small\mathsf{y^2 + 28y + 196}\)
(y + 14)(y + 14)
\(\small\mathsf{y^2 + 28y + 196}\)
(y + 14)(y + 14)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น y + 14 = 0
จะได้ y = -14
จะได้ y = -14
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -14
9) 3y(5y – 1) = 4(10 – 2y)
วิธีทำ
3y(5y – 1)
= 4(10 – 2y)
\(\small\mathsf{15y^2 \; – \; 3y}\)
\(\small\mathsf{15y^2 \; – \; 3y + 8y \; – \; 40}\)
\(\small\mathsf{15y^2 + 5y \; – \; 40}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{5}(15y^2 + 5y \; – \; 40)}\)
\(\small\mathsf{3y^2 + y \; – \; 8}\)
\(\small\mathsf{15y^2 \; – \; 3y + 8y \; – \; 40}\)
\(\small\mathsf{15y^2 + 5y \; – \; 40}\)
\(\small\mathsf{\frac{1}{5}(15y^2 + 5y \; – \; 40)}\)
\(\small\mathsf{3y^2 + y \; – \; 8}\)
= 40 – 8y
= 0
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{5}}\)(0)
= 0
= 0
= 0
= \(\small\mathsf{\frac{1}{5}}\)(0)
= 0
a = 3, b = 1 และ c = -8
\(\small\mathsf{b^2 \; – \; 4ac}\)
= \(\small\mathsf{1^2 \; – \; 4(3)(-8)}\)
= 1 – (-96)
= 97
= 97
y = \(\small\mathsf{\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \; – \; 4ac}}{2a}}\)
= \(\small\mathsf{\dfrac{-1 \pm \sqrt{97}}{2(3)}}\)
= \(\small\mathsf{\dfrac{-1 \pm \sqrt{97}}{6}}\)
ดังนั้น y = \(\small\mathsf{\dfrac{-1 + \sqrt{97}}{6}}\)
หรือ y = \(\small\mathsf{\dfrac{-1 \; – \; \sqrt{97}}{6}}\)
ตอบ คำตอบของสมการ คือ \(\small\mathsf{\dfrac{-1 + \sqrt{97}}{6}}\) และ \(\small\mathsf{\dfrac{-1 \; – \; \sqrt{97}}{6}}\)
10) \(\small\mathsf{(2x + 1)^2 = (2 \; – \; x)^2}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{(2x + 1)^2}\)
= \(\small\mathsf{(2 \; – \; x)^2}\)
\(\small\mathsf{4x^2 + 4x + 1}\)
\(\small\mathsf{4x^2 \; – \; x^2 + 4x + 4x + 1 \; – \; 4}\)
\(\small\mathsf{3x^2 + 8x \; – \; 3}\)
(3x – 1)(x + 3)
\(\small\mathsf{4x^2 \; – \; x^2 + 4x + 4x + 1 \; – \; 4}\)
\(\small\mathsf{3x^2 + 8x \; – \; 3}\)
(3x – 1)(x + 3)
= \(\small\mathsf{4 \; – \; 4x + x^2}\)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น 3x – 1 = 0
จะได้ \(\small\mathsf{\frac{1}{3}}\)
จะได้ \(\small\mathsf{\frac{1}{3}}\)
หรือ x + 3 = 0
หรือ x = -3
หรือ x = -3
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -3 และ \(\small\mathsf{\frac{1}{3}}\)