1. จงแก้สมการต่อไปนี้ โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างของกำลังสอง
1) \(\small\mathsf{x^2 + 26x + 165 = 0}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{x^2 + 26x + 165}\)
= 0
\(\small\mathsf{[x^2 + 2(x)(13) + 13^2] \; – \; 13^2 + 165}\)
\(\small\mathsf{(x + 13)^2 \; – \; 169 + 165}\)
\(\small\mathsf{(x + 13)^2 \; – \; 4}\)
\(\small\mathsf{(x + 13)^2 \; – \; 2^2}\)
(x + 13 + 2)(x + 13 – 2)
(x + 15)(x + 11)
\(\small\mathsf{(x + 13)^2 \; – \; 169 + 165}\)
\(\small\mathsf{(x + 13)^2 \; – \; 4}\)
\(\small\mathsf{(x + 13)^2 \; – \; 2^2}\)
(x + 13 + 2)(x + 13 – 2)
(x + 15)(x + 11)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น x + 15 = 0
จะได้ x = -15
จะได้ x = -15
หรือ x – 11 = 0
หรือ x = -11
หรือ x = -11
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -11 และ -15
2) \(\small\mathsf{y^2 \; – \; 98y + 2376 = 0}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{y^2 \; – \; 98y + 2376}\)
= 0
\(\small\mathsf{[y^2 \; – \; 2(y)(49) + 49^2] \; – \; 49^2 + 2376}\)
\(\small\mathsf{(y \; – \; 49)^2 \; – \; 2401 + 2376}\)
\(\small\mathsf{(y \; – \; 49)^2 \; – \; 25}\)
\(\small\mathsf{(y \; – \; 49)^2 \; – \; 5^2}\)
(y – 49 + 5)(y – 49 – 5)
(y – 44)(y – 54)
\(\small\mathsf{(y \; – \; 49)^2 \; – \; 2401 + 2376}\)
\(\small\mathsf{(y \; – \; 49)^2 \; – \; 25}\)
\(\small\mathsf{(y \; – \; 49)^2 \; – \; 5^2}\)
(y – 49 + 5)(y – 49 – 5)
(y – 44)(y – 54)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น y – 44 = 0
จะได้ y = 44
จะได้ y = 44
หรือ y – 54 = 0
หรือ y = 54
หรือ y = 54
ตอบ คำตอบของสมการ คือ 44 และ 54
3) \(\small\mathsf{z^2 + 756 = 60z}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{z^2 + 756}\)
= 60z
\(\small\mathsf{z^2 \; – \; 60z + 756}\)
\(\small\mathsf{[z^2 \; – \; 2(z)(30) + 30^2] \; – \; 30^2 + 756}\)
\(\small\mathsf{(z \; – \; 30)^2 \; – \; 900 + 756}\)
\(\small\mathsf{(z \; – \; 30)^2 \; – \; 144}\)
\(\small\mathsf{(z \; – \; 30)^2 \; – \; 12^2}\)
(z – 30 + 12)(z – 30 – 12)
(z – 18)(z – 42)
\(\small\mathsf{[z^2 \; – \; 2(z)(30) + 30^2] \; – \; 30^2 + 756}\)
\(\small\mathsf{(z \; – \; 30)^2 \; – \; 900 + 756}\)
\(\small\mathsf{(z \; – \; 30)^2 \; – \; 144}\)
\(\small\mathsf{(z \; – \; 30)^2 \; – \; 12^2}\)
(z – 30 + 12)(z – 30 – 12)
(z – 18)(z – 42)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น z – 18 = 0
จะได้ z = 18
จะได้ z = 18
หรือ z – 42 = 0
หรือ z = 42
หรือ z = 42
ตอบ คำตอบของสมการ คือ 18 และ 42
4) \(\small\mathsf{400 + 50x = -x^2}\)
วิธีทำ
400 + 50x
= \(\small\mathsf{-x^2}\)
\(\small\mathsf{x^2 + 50x + 400}\)
\(\small\mathsf{[x^2 + 2(x)(25) + 25^2] \; – \; 25^2 + 400}\)
\(\small\mathsf{(x + 25)^2 \; – \; 625 + 400}\)
\(\small\mathsf{(x + 25)^2 \; – \; 225}\)
\(\small\mathsf{(x + 25)^2 \; – \; 15^2}\)
(x + 25 + 15)(x + 25 – 15)
(x + 40)(x + 10)
\(\small\mathsf{[x^2 + 2(x)(25) + 25^2] \; – \; 25^2 + 400}\)
\(\small\mathsf{(x + 25)^2 \; – \; 625 + 400}\)
\(\small\mathsf{(x + 25)^2 \; – \; 225}\)
\(\small\mathsf{(x + 25)^2 \; – \; 15^2}\)
(x + 25 + 15)(x + 25 – 15)
(x + 40)(x + 10)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น x + 40 = 0
จะได้ x = -40
จะได้ x = -40
หรือ x + 10 = 0
หรือ x = -10
หรือ x = -10
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -10 และ -40
5) \(\small\mathsf{4y^2 \; – \; 3 = 8y + 9}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{4y^2 \; – \; 3}\)
= 8y + 9
\(\small\mathsf{4y^2 \; – \; 8y \; – \; 3 \; – \; 9}\)
\(\small\mathsf{4y^2 \; – \; 8y \; – \; 12}\)
\(\small\mathsf{[(2y)^2 \; – \; 2(2y)(2) + 2^2] \; – \; 2^2 \; – \; 12}\)
\(\small\mathsf{(2y \; – \; 2)^2 \; – \; 4 \; – \; 12}\)
\(\small\mathsf{(2y \; – \; 2)^2 \; – \; 16}\)
\(\small\mathsf{(2y \; – \; 2)^2 \; – \; 4^2}\)
(2y – 2 + 4)(2y – 2 – 4)
(2y + 2)(2y – 6)
\(\small\mathsf{4y^2 \; – \; 8y \; – \; 12}\)
\(\small\mathsf{[(2y)^2 \; – \; 2(2y)(2) + 2^2] \; – \; 2^2 \; – \; 12}\)
\(\small\mathsf{(2y \; – \; 2)^2 \; – \; 4 \; – \; 12}\)
\(\small\mathsf{(2y \; – \; 2)^2 \; – \; 16}\)
\(\small\mathsf{(2y \; – \; 2)^2 \; – \; 4^2}\)
(2y – 2 + 4)(2y – 2 – 4)
(2y + 2)(2y – 6)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น 2y + 2 = 0
จะได้ y = -\(\small\mathsf{\frac{2}{2}}\) = -1
จะได้ y = -\(\small\mathsf{\frac{2}{2}}\) = -1
หรือ 2y – 6 = 0
หรือ y = \(\small\mathsf{\frac{6}{2}}\) = 3
หรือ y = \(\small\mathsf{\frac{6}{2}}\) = 3
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -1 และ 3
6) \(\small\mathsf{9z^2 + 6z \; – \; 8 = 0}\)
วิธีทำ
\(\small\mathsf{9z^2 + 6z \; – \; 8}\)
= 0
\(\small\mathsf{[(3z)^2 + 2(3z)(1) + 1^2] \; – \; 1^2 \; – \; 8}\)
\(\small\mathsf{(3z + 1)^2 \; – \; 1 \; – \; 8}\)
\(\small\mathsf{(3z + 1)^2 \; – \; 9}\)
\(\small\mathsf{(3z + 1)^2 \; – \; 3^2}\)
(3z + 1 + 3)(3z + 1 – 3)
(3z + 4)(3z – 2)
\(\small\mathsf{(3z + 1)^2 \; – \; 1 \; – \; 8}\)
\(\small\mathsf{(3z + 1)^2 \; – \; 9}\)
\(\small\mathsf{(3z + 1)^2 \; – \; 3^2}\)
(3z + 1 + 3)(3z + 1 – 3)
(3z + 4)(3z – 2)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
ดังนั้น 3z + 4 = 0
จะได้ z = -\(\small\mathsf{\frac{4}{3}}\)
จะได้ z = -\(\small\mathsf{\frac{4}{3}}\)
หรือ 3z – 2 = 0
หรือ z = \(\small\mathsf{\frac{2}{3}}\)
หรือ z = \(\small\mathsf{\frac{2}{3}}\)
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -\(\small\mathsf{\frac{4}{3}}\) และ \(\small\mathsf{\frac{2}{3}}\)